Игра в конфигурации: чем сложнее, тем интереснее!

Игра в конфигурации: чем сложнее, тем интереснее!

Игра в конфигурации: чем сложнее, тем интереснее!

Совсем недавно мы писали о новой головоломке под названием «игра в конфигурации». Она допускает разнообразные модификации и обобщения, предлагаем рассмотреть самые интересные из них.

  • Если вы еще не прочли наш лонгрид об игре в конфигурации — скорее переходите по ссылке, а затем возвращайтесь и изучайте более сложные варианты игры.

Теперь вместо крестиков будем использовать цветные квадратики — составленные из них конфигурации воспринимаются легче. Кроме того, их можно быстро и легко рисовать в Word’е, используя цветовую заливку табличных ячеек.

Игра «Не больше трех»

Единственное правило выставления квадратиков здесь следующее: по вертикали, горизонтали и диагоналям не должно стоять более трех соседних (соприкасающихся) квадратиков. Соответственно, допустимы изолированные и объединенные лишь в пары квадратики. В качестве затравки используется пустое поле.

Самая интересная задача состоит в нахождении минимальных и максимальных полных конфигураций для заданных конечных полей, представляющих собой различные геометрические фигуры.

Даже в простейших случаях мы сталкиваемся с нетривиальными задачами комбинаторной геометрии. Рассмотрим, для начала, квадратное поле 4х4, представленное на рисунке 1. Далее листайте галерею право.

Игра в конфигурации: чем сложнее, тем интереснее!

Рисунок 1

Минимальной полной конфигурацией для него будет квадрат, составленный из 3×3=9 квадратиков, примыкающий к любому из четырех углов поля (рис. 2).

Игра в конфигурации: чем сложнее, тем интереснее!

Рисунок 2

Максимальная полная конфигурация представлена на рис. 3. Число квадратиков в ней равно 12.

Игра в конфигурации: чем сложнее, тем интереснее!

Рисунок 3

Есть ли другие, принципиально отличные от приведенных выше, минимальные и максимальные полные конфигурации? Найдите для этого же поля полную конфигурацию с каким-нибудь промежуточным числом квадратиков, например, 11. Решение представлено на рис. 4.

Игра в конфигурации: чем сложнее, тем интереснее!

Рисунок 4

Рассмотрим теперь квадратное поле 5×5 (рис. 5).

смотреть ещё раз

Рассмотрим теперь квадратное поле 5×5 (рис. 5). Далее листайте галерею право.

Игра в конфигурации: чем сложнее, тем интереснее!

Рисунок 5

Минимальная полная конфигурация для него, представленная на рис. 6, тоже состоит из 9 квадратиков.

Игра в конфигурации: чем сложнее, тем интереснее!

Рисунок 6

Максимальная полная конфигурация состоит из 17 квадратиков (ее варианты представлены на рис. 7 и 8).

Игра в конфигурации: чем сложнее, тем интереснее!

Рисунок 7

Игра в конфигурации: чем сложнее, тем интереснее!

Рисунок 8

Найдите другие максимальные полные конфигурации для этого поля. Несложно найти минимальную полную конфигурацию для квадрата 6×6 (рис. 9).

Игра в конфигурации: чем сложнее, тем интереснее!

Рисунок 9

Найдите для него максимальную полную конфигурацию. Найдите минимальную и максимальную полные конфигурации для квадратных полей 7×7, 8×8 и т. д.

смотреть ещё раз

Перейдем к полям иных форм. Интереснейший случай — крестообразное поле, изображенное на рис. 10.

Игра в конфигурации: чем сложнее, тем интереснее!
Рисунок 10

Найдите для него минимальную полную конфигурацию.

Решив подобную задачу для квадратных полей небольших размеров, можно было бы предположить, что и в данном случае элементами минимальной полной конфигурации будут квадраты, составленные из 3х3=9 квадратиков, или близкие к ним фигуры.

На рис. 11 и 12 представлены соответствующие гипотетические решения.

Игра в конфигурации: чем сложнее, тем интереснее!

Рисунок 11

Игра в конфигурации: чем сложнее, тем интереснее!

Рисунок 12

смотреть ещё раз

Но, оказывается, это не минимальные полные конфигурации, а… наоборот, максимальные. Число квадратиков в них равно 33.

Минимальные же полные конфигурации совершенно иные. Они представлены на рис. 13 и 14. Число квадратиков в них равно 24. Парадоксальным образом, в них встречаются элементы, входящие в максимальные полные конфигурации для квадратных полей.

Игра в конфигурации: чем сложнее, тем интереснее!

Рисунок 13

Игра в конфигурации: чем сложнее, тем интереснее!

Рисунок 14

смотреть ещё раз

Найдите минимальные и максимальные полные конфигурации для ступенчатых диагональных квадратов разных размеров (квадрат 4х4 такого рода представлен на рис. 15).

Игра в конфигурации: чем сложнее, тем интереснее!
Рисунок 15

В игре «Не больше трех» интересны и полные конфигурации на бесконечном поле. Поскольку число квадратиков в них бесконечно, в качестве количественной меры следует использовать плотность, равную пределу (если он существует) отношения n/Sk при k→∞, где Sk = k х k — площадь квадрата со стороной k, а n — число заключенных в нем квадратиков. Плотность не должна зависеть от выбора последовательности увеличивающихся квадратов.

Плотность полной конфигурации, изображенной на рис. 16, очевидно, равна 9/16= 0,5625. Исходя из минимальных полных конфигураций для конечных квадратных полей, можно предположить, что данная полная конфигурация тоже минимальна.

Игра в конфигурации: чем сложнее, тем интереснее!

Рисунок 16

Найдите плотность полной конфигурации, представленной на рис. 17.

Игра в конфигурации: чем сложнее, тем интереснее!

Рисунок 17

смотреть ещё раз

Максимальная полная конфигурация на бесконечном поле и ее плотность автору пока не известны. Быть может, на этот вопрос сможет ответить наш читатель?



Сохрани статью себе в соцсеть!





Комментарии ( 0 )
    Оставить комментарий

    Ваш электронный адрес не будет опубликован. Обязательные поля помечены *